martes, 4 de octubre de 2016

Tazas, rosquillas y un Nobel de Física

Minutos antes de sentarme a escribir estas líneas, se acaba de otorgar el premio Nobel de Física 2016 a David J. Thouless, al que le corresponde la mitad del premio y a F. Duncan M. Haldane y J. Michael Kosterlitz, con un cuarto de premio a cada uno "por los descubrimientos teóricos de las transiciones de fase topológica y fases topológicas de la materia". Podéis leer esta fantástica entrada de otro de los chanchitos sobre los aspectos físicos de dicha temática; pero la palabra "topológica" se repite dos veces y da la casualidad que mi tesis y mis primeros diez años de trabajo (sort of) en la universidad estuvieron centrados en la topología. Voy a tratar de explicar en qué consiste dicha disciplina porque esta noche, para mi, tendremos un especial de Los 3 chanchitos sobre dicho Nobel (por cierto, si cuando lees esto aún estás a tiempo, te agradecería el voto a nuestro podcast para los premios Bitácoras, lo puedes hacer dándole a este enlace).

La topología es una rama de las matemáticas que trata de estudiar las propiedades de los cuerpos cuando no tenemos en consideración ningún tipo de medición (ni de distancia, ni de distancia, etc.).
Se podría decir que a la topología no le importa tus medidas, sino lo que encierras. 

Voy a poner algunos ejemplos para tratar de hacerme comprender:
El que algo sea una circunferencia es una propiedad métrica ya la definición nos dice que es el conjunto de puntos que "equidista" de otro. Pero ser un segmento también depende de la métrica (es el camino "más corto" entre dos puntos) , por lo tanto, ser un triángulo o un cuadrilátero, etc., también son propiedades métricas. Así que en topología no podemos tener circunferencias, ni triángulos o, mejor dicho, no hay ninguna propiedad topológica que distinga a una circunferencia de un triángulo: si nos ponemos las gafas de visión topológicas una circunferencia y un triángulo son la misma cosa. podemos asignar a cada punto del triángulo un punto de la circunferencia de manera biunívoca conservando todas las propiedades topológicas.

Entonces, ¿qué cosas puede distinguir la topología? Lo primero que podríamos destacar como propiedad topológica es si algo tiene un pedazo (es conexo, aunque hay muchas matizaciones sobre ello) o más de uno. Así, un segmento no es lo mismo, aún con las gafas de visión topológicas puestas, que dos segmentos. Y si tenemos una pieza de pan, para un topólogo es lo mismo que qcualquier otra pieza de pan, pero si una de ellas la partimos en dos, ya sí se pueden diferenciar.

Estos dos representantes de la especie humana son topológicamente indistinguibles, salvo si partimos a uno de ellos por la mitad. Sin embargo, es muy probable que la ropa que llevan sí los pueda diferenciar (a simple vista da la sensación de que el individuo de la izquierda lleva más trozos de ropa en su vestimenta). 

En realidad, esta propiedad, la de ser un trozo (o conexo) o no serlo, se puede considerar como la propiedad topológica fundamental, la que nos va a permitir distinguir entre multitud de objetos (técnicamente el número de componentes conexas de un objeto).
Veamos cómo. Nos podemos preguntar si un segmento es lo mismo que una circunferencia: los dos tienen sólo un trozo, así que podría parecer que no, que no vamos a poder distinguirlos. Así que supongamos que el segmento y la circunferencia son la misma cosa para la topología y que cada punto del segmento se corresponde de manera biunívoca con uno de la circunferencia de tal forma que se conservan todas las propiedades topológicas.
Pensemos ahora en el punto medio del segmento, ese punto mediante la correspondencia que acabamos de suponer, se ha de corresponder con algún punto de la circunferencia, pero ¿qué ocurre al quitar el punto medio del segmento? Que se parte en dos el segmento. Sin embargo, no existe ningún punto en la circunferencia que al quitarlo parta en dos a ella. Por ello, podemos decir que la circunferencia y el segmento no son la misma cosa desde un punto de vista topológico: necesitamos dos puntos para romper en dos pedazos disconexos una circunferencia.

Tratemos de avanzar un poco y saltemos al mundo tridimensional. El equivalente ahora a una circunferencia sería una esfera. Es fácil ver que si pintamos cualquier circunferencia sobre la superficie de la esfera y quitamos exactamente los puntos de esa circunferencia de la esfera, dividimos a la esfera en dos trozos.
Y lo mismo ocurre si le quitamos a la esfera cualquier curva equivalente a una circunferencia (esto se conoce como el Teorema de curva cerrada de Jordan). 

Sin embargo, en la superficie de un donut (lo que los topólogos llamamos un toro), podemos encontrar circunferencias que no la dividen en dos:
Si cortamos por la circunferencia marcada con una v, no dividimos ala toro en dos 
Por lo tanto, para un topólogo no es lo mismo una esfera que un toro (y si para casi nadie es lo mismo, dicho sea de paso). Sin embargo, es todo un clásico decir que el topólogo es incapaz de distinguir entre una taza de desayuno y un donut. Efectivamente, como prueba esta imagen, podemos pasar de forma continua (y esta palabra es clave) de una al otro.


Lo curioso es que se sabe cuáles son todas las superficies que existen desde un punto de vista topológico y hay tres propiedades que las caracterizan: tener borde o no, ser orientable o no (un ejemplo de no orientable es la banda de Möbius de la que nos habló la chanchita en este vídeo) y el numero de asas: la esfera no tiene, el toro tiene una, el doble toro tiene dos, etc.
Triple toro (con tres asas)
Naturalmente, existen otras propiedades topológicas, pero digamos que lo que acabamos de ver es lo fundamental. Tal y como se ve en la imagen publicada por el académico Johan Jarnestad para explicar la concesión del Nobel:
  
Cada vez que se produce un "pow" se cambia la topología


Pues ya sabéis, estás rosquillas se acaban de llevar un Nobel de física y este es casi el único consuelo que nos queda a los matemáticos por haber sido excluidos de tamaña distinción.

10 comentarios :

  1. ¡muy bien explicado! y quita ya mi foto del blog, que yo aquí pinto poco (y escribo menos aún!)

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  2. Gracias por la elocuencia. una pregunta cual es el enlace para la votación de los premios bitácoras????

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    1. Está en la entrada, pero es este: http://bitacoras.com/premios16/votar/3b319d89b78da31cc81c067f6dc81c26663955e8
      Muchas gracias.

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  3. Lo que se necesita en física es no gastar más cientifico\horas en metafisica matemática esotérica y enfocarnos en formar estudiantes con más imaginación física para llegar a un nuevo paradigma físico que explique mejor las cosas físicas que nos rodean. Esta claro que por la vía matemática nunca se construyó ningún paradigma físico nuevo, la didáctica matemática vino después con la moderación.
    La topología es un consuelo muy malo, ante la crisis de los 5 paradigmas que otros nos legaron en solo 300 años y ahora con más conocimiento físico acumulado llevamos 100sin ninguno.

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  4. Por ejemplo, analiza la explicación topológica del efecto Borm Aharonov y verás que porquería global, como toda la topología en fisica, incipida, que no ha servido para nada siendo un descubrimiento experimental bastante viejito ya.
    Los premios nover la realidad física, como estos están mad sobrevalorados en bolsa que las social medias.

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  5. Y como no podía faltar, metieron que al final esto servirá para la computación cuántica, please ese truco ya aburre. Eso es una papelera del reciclaje físico que todos ponen en las conclusiones de sus trabajos, pero no es física, no son conclusiones científicas, son solo para vender los trabajos de metafisica matemática esotérica al populacho científico.

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  6. Miren la misma cosmología, casi toda se basa en el CMB, algo que está en contradicción con la base sobre la única base que se puede construir la Mecánica Cuántica, la indisguibilidad de las partículas cuánticas. La Mecánica Cuántica dice que no puedes distinguir un fotón de otro (sino no hay Mecánica Cuántica) sin embargo los metafisica matemáticos esotericos se cagan en eso y dicen que los fogones que detecta el satélite Planck son cuando se formaba el universo. Eso es mentir descaradamente y olvidarse de la MC, o una cosa y otra, escojan y no mientan más. Nadie puede saber de donde salió un fotón de los que detecta Planck, porque fogones de esa longitud de onda salen de todas las distancias, no solo de donde ellos se creen. Lo que pasa es que marean la paloma para que la gente no vea que los físicos estamos apoyando explicaciones incipidas, porque estamos mal formado el la metafisica matemática esotérica y sin una perderá imaginación física.

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  7. En fin esto no conduce a un nuevo paradigma físico, no mueve la física como ciencia básica;pero en realidad no hay trascendente en física para premiar ya hace años.

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  8. Ya se que ahora van a venir los fanáticos de la nueva religión (la metafisica matemática esotérica) a decirte que borres mis comentarios o te excomulgan de ella y mejor los borras porque no lo disen jugando.

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  9. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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