Puede que leas esto después del 8 de noviembre de 2016, espero muy sinceramente que para entonces Donald Trump no sea el presidente electo. Pero yo estoy escribiendo esto bastante antes de dicha fecha y no sé si Nate Silver volverá a acertar los resultados de las elecciones presidenciales americanas con impresionante precisión tal y como hizo en 2008 y 2012. Acierte o no, recomiendo la lectura de su libro La señal y el ruido, en él explica parte de su trayectoria y de sus métodos para analizar los datos y saber quedarse con la señal (la información valiosa) distinguiéndola del ruido (los datos que no solo no aportan nada, sino que pueden llevar a conclusiones erróneas). El bueno de Nate ha pasado del póker y las apuestas deportivas a ganarse la vida, muy bien, haciendo predicciones de todo tipo. Pero, FiveThirtyEight, el blog que creó en 2008, no se limita a decirnos quién ganará el próximo partido de la NBA o las elecciones presidenciales, también propone el tipo de acertijos y problemas que le gustan a los que allí trabajan. Uno de los retos que han aparecido allí me ha llamado poderosamente la atención y quiero comentarlo aquí.
En esta entrada, se recogen dos problemas, el primero de ellos es un clásico y como lo he visto tantas veces asumo que el lector también, aunque es muy posible que yo esté equivocado, así que le puedes echar un vistazo. Pero el problema que quiero plantear aquí es el segundo:
Se tiene una cinta con 1000 casillas, tres monedas, un dado normal de seis caras y una ficha. Puedes situar las monedas en las casillas que quieras, pero una vez colocadas ya no se pueden mover. Ahora se trata de tirar el dado y avanzar con la ficha tantas casillas como indique el dado. Si en algún momento caes en una de las casillas que tiene una moneda, has ganado, en caso contrario, pierdes. ¿Dónde situarías las monedas? ¿Qué probabilidades tienes de vencer?
Naturalmente, te sugiero que pienses un poco el problema. Para evitar que caigas en la tentación de mirar inmediatamente la solución que propongo, pondré una imagen.
Espero que el sucio truco que he utilizado haya dado sus frutos y que ya tengas pensado algo.
Lo primero que se puede ocurrir es situar las monedas en cualquier sitio, ya que no está claro que el azar favorezca unas casillas sobre otras. Así que pensemos que ponemos las tres monedas en las casillas 1, 2 y 3, es muy fácil comprobar que en tal caso tu probabilidad de ganar es de 1/2: si sale en la primera tirada uno de dichos números, has ganado, en otro caso, pierdes seguro. Pero si las sitúas en las posiciones 2, 3 y 4 tus posibilidades aumentan, ya que si sale 2, 3 o 4 en la primera tirada, has ganado, si sale 5 o 6 pierdes seguro, pero si sale 1 aún puedes ganar en la segunda tirada (con una probabilidad de 1/2). Por lo tanto, en este caso, si calculamos las posibilidades de ganar hemos de sumar 1/2 (que salga 2, 3 o 4) con el producto de 1/6 (que saquemos un 1) por 1/2 (que obtengamos 1, 2 o 3 después del 1). Esto es, 1/2+1/12.
Así que ¿dónde nos tenemos que situar? Tal y como aconseja Descartes en su Discurso del método, si no sabes resolver un problema hay que «conducir con orden mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ascender poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos». En román paladino: tratemos de pensar que tenemos sólo una moneda y veamos dónde hemos de situarla.
Llamaremos P[k] a la probabilidad de ganar si situamos una moneda en la casilla "k". Evidentemente, sólo podemos llegar a una posición directamente, en una sola tirada, desde las seis anteriores y desde cualquiera de ellas, llegaremos a la "k" con una probabilidad de 1/6, por lo tanto:
Si calculamos (en mi caso he usado Sagemath que es gratuito y código abierto para realizar todos los cálculos) todas estas posibilidades obtenemos:
P[1]= 0.166666666667
P[2]= 0.194444444444
P[3]= 0.226851851852
P[4]= 0.264660493827
P[5]= 0.308770576132
P[6]= 0.36023233882
P[7]= 0.25360439529
P[8]= 0.268094016728
P[9]= 0.280368945441
P[10]= 0.28928846104
P[11]= 0.293393122242
P[12]= 0.29083021326
P[13]= 0.279263192334
P[14]= 0.283539658507
P[15]= 0.286113932137
P[16]= 0.28707142992
P[17]= 0.286701924733
P[18]= 0.285586725149
P[19]= 0.284712810463
P[20]= 0.285621080152
P[21]= 0.285967983759
P[22]= 0.285943659029
P[23]= 0.285755697214
P[24]= 0.285597992628
En realidad, na habría hecho falta calcular nada para ver que el mayor valor se obtiene en P[6], ya que en su expresión aparece el P[0] que vale 1 y todos los demás valores se pueden acotar muy fácilmente.
Bien, ya sabemos que si situamos una única moneda, esta tenemos que colocarla en la casilla 6 que nos da una sorprendente probabilidad de salvarnos de 0.36 (más de un tercio).
Este es el momento de dar un paso más y tratar de calcular que ocurre si situamos dos monedas. Si llamamos L[i,j] a la probabilidad de salvarnos situando una moneda en la casilla "i", y la otra en la "j". L[i,j]="probabilidad de caer en i"+probabilidad de caer en j"-"probabilidad de caer en las dos". Obsérvese que tenemos que restar la probabilidad de caer en los dos porque, en caso contrario, estaríamos contando dos veces dicha probabilidad. Pero la probabilidad de caer en la segunda (digamos j) estando en la primera (la i) es igual a la probabilidad de caer desde el inicio en la casilla "j-i", puesto que la probabilidad de estar en la primera es P[i], la probabilidad de caer en los dos es P[i]*P[j-i], así tenemos:
En esta entrada, se recogen dos problemas, el primero de ellos es un clásico y como lo he visto tantas veces asumo que el lector también, aunque es muy posible que yo esté equivocado, así que le puedes echar un vistazo. Pero el problema que quiero plantear aquí es el segundo:
Se tiene una cinta con 1000 casillas, tres monedas, un dado normal de seis caras y una ficha. Puedes situar las monedas en las casillas que quieras, pero una vez colocadas ya no se pueden mover. Ahora se trata de tirar el dado y avanzar con la ficha tantas casillas como indique el dado. Si en algún momento caes en una de las casillas que tiene una moneda, has ganado, en caso contrario, pierdes. ¿Dónde situarías las monedas? ¿Qué probabilidades tienes de vencer?
Naturalmente, te sugiero que pienses un poco el problema. Para evitar que caigas en la tentación de mirar inmediatamente la solución que propongo, pondré una imagen.
Espero que el sucio truco que he utilizado haya dado sus frutos y que ya tengas pensado algo.
Lo primero que se puede ocurrir es situar las monedas en cualquier sitio, ya que no está claro que el azar favorezca unas casillas sobre otras. Así que pensemos que ponemos las tres monedas en las casillas 1, 2 y 3, es muy fácil comprobar que en tal caso tu probabilidad de ganar es de 1/2: si sale en la primera tirada uno de dichos números, has ganado, en otro caso, pierdes seguro. Pero si las sitúas en las posiciones 2, 3 y 4 tus posibilidades aumentan, ya que si sale 2, 3 o 4 en la primera tirada, has ganado, si sale 5 o 6 pierdes seguro, pero si sale 1 aún puedes ganar en la segunda tirada (con una probabilidad de 1/2). Por lo tanto, en este caso, si calculamos las posibilidades de ganar hemos de sumar 1/2 (que salga 2, 3 o 4) con el producto de 1/6 (que saquemos un 1) por 1/2 (que obtengamos 1, 2 o 3 después del 1). Esto es, 1/2+1/12.
Así que ¿dónde nos tenemos que situar? Tal y como aconseja Descartes en su Discurso del método, si no sabes resolver un problema hay que «conducir con orden mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ascender poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos». En román paladino: tratemos de pensar que tenemos sólo una moneda y veamos dónde hemos de situarla.
Llamaremos P[k] a la probabilidad de ganar si situamos una moneda en la casilla "k". Evidentemente, sólo podemos llegar a una posición directamente, en una sola tirada, desde las seis anteriores y desde cualquiera de ellas, llegaremos a la "k" con una probabilidad de 1/6, por lo tanto:
P[k]=1/6*(P[k-1]+P[k-2]+P[k-3]+P[k-4]+P[k-5]+P[k-6])
Desde las primeras 6 casillas, también se puede llegar directamente en la primera tirada, por lo tanto, las probabilidades en cada caso son:
P[0]=1 (significa que empezamos en una casilla "0")
P[1]=1/6*P[0]
P[2]=1/6*(P[0]+P[1])
P[3]=1/6*(P[0]+P[1]+P[2])
P[4]=1/6*(P[0]+P[1]+P[2]+P[3])
P[5]=1/6*(P[0]+P[1]+P[2]+P[3]+P[4])
P[6]=1/6*(P[0]+P[1]+P[2]+P[3]+P[4]+P[5])
Si calculamos (en mi caso he usado Sagemath que es gratuito y código abierto para realizar todos los cálculos) todas estas posibilidades obtenemos:
P[1]= 0.166666666667
P[2]= 0.194444444444
P[3]= 0.226851851852
P[4]= 0.264660493827
P[5]= 0.308770576132
P[6]= 0.36023233882
P[7]= 0.25360439529
P[8]= 0.268094016728
P[9]= 0.280368945441
P[10]= 0.28928846104
P[11]= 0.293393122242
P[12]= 0.29083021326
P[13]= 0.279263192334
P[14]= 0.283539658507
P[15]= 0.286113932137
P[16]= 0.28707142992
P[17]= 0.286701924733
P[18]= 0.285586725149
P[19]= 0.284712810463
P[20]= 0.285621080152
P[21]= 0.285967983759
P[22]= 0.285943659029
P[23]= 0.285755697214
P[24]= 0.285597992628
En realidad, na habría hecho falta calcular nada para ver que el mayor valor se obtiene en P[6], ya que en su expresión aparece el P[0] que vale 1 y todos los demás valores se pueden acotar muy fácilmente.
Bien, ya sabemos que si situamos una única moneda, esta tenemos que colocarla en la casilla 6 que nos da una sorprendente probabilidad de salvarnos de 0.36 (más de un tercio).
Este es el momento de dar un paso más y tratar de calcular que ocurre si situamos dos monedas. Si llamamos L[i,j] a la probabilidad de salvarnos situando una moneda en la casilla "i", y la otra en la "j". L[i,j]="probabilidad de caer en i"+probabilidad de caer en j"-"probabilidad de caer en las dos". Obsérvese que tenemos que restar la probabilidad de caer en los dos porque, en caso contrario, estaríamos contando dos veces dicha probabilidad. Pero la probabilidad de caer en la segunda (digamos j) estando en la primera (la i) es igual a la probabilidad de caer desde el inicio en la casilla "j-i", puesto que la probabilidad de estar en la primera es P[i], la probabilidad de caer en los dos es P[i]*P[j-i], así tenemos:
L[i,j]=P[i]+P[j]-P[i]*P[j-i]
Y podemos calcular todo con lo ya calculado anteriormente. Si metemos las instrucciones correspondientes en Sagemath, obtenemos que el máximo valor se obtiene situando las monedas en las posiciones 5 y 6 y la probabilidad en este caso es un increíble 0,62 (poco menos de 2/3).
Con las ideas anteriores no es difícil de ver qué ocurre con tres monedas. Utilizamos el mismo principio de exclusión-inclusión y la probabilidad de tres es la suma de las probabilidades individuales, menos las probabilidades de caer en dos de las casillas seleccionadas, más la probabilidad de caer en las tres. Esto es, si llamamos T[i,j,k] a la probabilidad de salvarnos poniendo las monedas en las posiciones "i", "j" y "k", tenemos:
T[i,j,k]=P[i]+P[j]+P[k]-(P[i]*(P[j-i]+P[k-i])+P[j]*P[k-j])+P[i]*P[j-i]*P[k-j]
Así que es muy fácil pedirle a Sagemath que realice los cálculos pertinentes y obtenemos que el máximo valor se obtiene situando las monedas en las casillas 4, 5 y 6 y nos salvaremos con una probabilidad muy cercana a 0,8.
Naturalmente, podemos utilizar todos estos datos para responder a muchas más preguntas que se pueden plantear asociadas a este problema, pero pienso que ya está bien por hoy.
PS: Este es el fichero de Sagemath que he creado para realizar los cálculos.
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